Droite d'Euler d'un triangle

En 1765, le mathématicien Leonard Euler (1707-1783) démontre que : « Dans un triangle quelconque, le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre et le centre de gravité sont alignés. » Le but de cet exercice est de démontrer cette propriété. 

Ce fichier de géométrie dynamique permet d'observer cette propriété. On peut déplacer les sommets du triangle et observer l'alignement des trois points évoqués.

On considère un triangle  \(\text{ABC}\) . On note  \(\text Q\)  le centre du cercle circonscrit   au triangle  \(\text{ABC}\)   (c'est-à-dire le point d'intersection des médiatrices) et  \(\text G\)  le centre de gravité du triangle  \(\text{ABC}\) (c'est-à-dire le point d'intersection des médianes).

Soit \(\text{ H}\)  le point défini par  \(\overrightarrow{\text{QH}} = \overrightarrow{\text{QA}} + \overrightarrow{\text{QB}} + \overrightarrow{\text{QC}}\) .

1. En utilisant la relation de Chasles, montrer que  \(\overrightarrow{\text{AH}} \cdot \overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{BH}} \cdot \overrightarrow{\text{CA}} = \overrightarrow{\text{CH}} \cdot \overrightarrow{\text{AB}} = 0\) . En déduire que  \(\text{H}\)  est l'orthocentre du triangle  \(\text{ABC}\) , c'est-à-dire le point d'intersection des hauteurs du triangle  \(\text{ABC}\) .

2. En utilisant la définition du point \(\text H\) déduire que  \(\overrightarrow{\text{QH}} = 3 \overrightarrow{\text{QG}}\) . Cette relation est appelée relation d'Euler.

3. Conclure que les points  \(\text Q, \text H\)  et  \(\text G\)  sont alignés, comme l'affirmait Euler.